等差数列公式都有哪些

    等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

    等差数列基本公式:

    末项=首项+(项数-1)×公差

    项数=(末项-首项)÷公差+1

    首项=末项-(项数-1)×公差

    和=(首项+末项)×项数÷2

    通项公式

    等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)

    前n项和公式

    前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)

    以上n均属于正整数.

    推论

    1.从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.

    2.从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

    3.若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.

    若m+n=2p,则am+an=2ap

    4.其他推论

    和＝（首项＋末项）×项数÷2

    项数＝（末项-首项）÷公差＋1

    首项=2和÷项数-末项

    末项=2和÷项数-首项

    末项=首项+（项数-1）×公差

    推论3证明

    若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq

    如am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d

    =2a1+(m+n-2)d

    同理得,

    ap+aq=2a1+(p+q-2)d

    又因为

    m+n=p+q ;

    a1,d均为常数

    所以

    若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq

    注：1.常数列不一定成立

    2.m,p,q,n大于等于自然数

    等差中项

    在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数.

    且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d

    它可以看作等差数列广义的通项公式.