勾股定理的证明方法

    最常见的勾股定理证明方法是欧几里得证明，设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

    在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

    在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

    如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

    三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

    任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

    任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

    证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

    设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

    其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

    画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

    分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

    ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

    ∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

    因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

    因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

    因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

    因此四边形BDLK=BAGF=AB2。

    同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC2。

    把这两个结果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

    由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

    由于CBDE是个正方形，因此AB2+AC2=BC2，即a2+b2=c2。