注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合? ，， 则 =
A．
B．
C．
D．
2．已知是虚数单位，，则=
A．
B．
C．
D．
3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为，则输出的值为
A．3B．4C．5D．6
（第3题）
（第4题）
4．如图，是边长为8的正方形，若，且为的中点，则
A．10B．12C．16D．20
5．若实数x,y满足，则的最大值是
A．4B．8C．16D．32
6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为
A．
B．
C．
D．
7.5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是
A．B．C．D．
8．设是数列的前项和，且，，则=
A．B．C．D．
9.函数的大致图像为
10.底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面,且，则四棱锥的外接球体积最小值是
A．B．C．D．
11.已知抛物线,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为
A．B．C．D．
12.已知函数（），函数，直线分别与两函数交于两点，则的最小值为
A．B．C．D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设样本数据，，...，的方差是5，若（），则，，...，的方差是________
14.已知函数（），若，则方程在的实数根个数是_____
15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15(如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则=_______
16.已知中，内角A，B，C所对的边分别为，，，且，．
若，则的面积为
三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分．
17.(本小题满分12分)
设数列是公差为的等差数列.
(Ⅰ)推导数列的通项公式；
(Ⅱ)设，证明数列不是等比数列.
18．(本小题满分12分)
某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中的值；
(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用表示随机抽取的2人中男生的人数，求的分布列和数学期望．
19.(本小题满分12分)
在直三棱柱中，，。
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求直线与平面所成的角．
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆，
圆，若圆的一条切线与椭圆相交于两点.
(Ⅰ)当,若点都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程；
(Ⅱ)若以为直径的圆经过坐标原点，探究之间的等量关系.
21.(本小题满分12分)
已知函数（是自然对数的底数）.
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)若，当对任意恒成
立时，的最大值为1，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请先将对应题号用铅笔涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点在上，点在上，判断与的位置关系并求的最小值．
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数（）.
(Ⅰ)当时，解不等式；
(Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
数学科答案（理科）
一、选择题1-56-1011-12
二、填空题13.4514.315.6516.
三、解答题
17.解：（1）因为是等差数列且公差为d，所以...........1
，，…，.........3
将上述式子相加，得
所以，数列的通项公式为.................6
（2）假设数列是等比数列，...................................7
当时，，，成等比数列
所以.......................................9
所以
所以，所以，这与矛盾
所以，数列不是等比数列........................12
18.解：(1)由频率分布直方图，得a=错误！未找到引用源。=0.05．........3
(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.02×5=0.1，
学生人数为0.1×20=2．.........................4
同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的
学生人数为0.03×5×20=3，.....................................5
故X的所有可能取值为0，1，2，
则错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，...........9
所以X的分布列为
所以E(X)=0×错误！未找到引用源。+1×错误！未找到引用源。+2×=错误！未找到引用源。．.................12
19.解：（1）由题意，以A为坐标原点，以AB,AC,所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
因为
则，，，，，......3
所以，
所以..........................................4
所以，所以........................................................5
（2）又因为，所以
所以又因为
所以，............................................8
又，所以.................10
所以，............................................11
所以直线与平面所成的角为..............................12
20.解（1）因为圆的一条切线为
所以，当，所以..................2
又点都在坐标轴的正半轴上，所以，所以切线
所以两点坐标是和，..............................4
所以椭圆的方程为........................................5
（2）设，，以为直径的圆经过坐标原
所以，所以..................6
所以
由所以
所以，...............................8
所以.................10
且
所以,................................11
所以...................................................12
21.解（1）因为............................................1
①时，恒成立，所以在上单调递增，无减区间；........2
②时，有，
且时，.时，，
所以的增区间是，减区间是......................4
（2）对任意恒成立，
所以对任意恒成立
所以对任意恒成立..............5
设，因为的最大值为1，.........6
所以
，.............................................7
令
所以有，且，，，
所以
所以在是单调递增的。...................................10
所以恒成立，所以............................11
所以实数的取值范围是.......................................12
22.解：(Ⅰ)的普通方程为：………………（２分）
将的极坐标方程变形为：，
∵，，
∴的直角坐标方程为：
即．………………（５分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：曲线与都是圆．
圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为
∵
∴圆与圆内含………………（８分）
的最小值为：………………（10分）
23.解：（1）由题知，.......................1
所以①，解得...........................2
②，解得..........................3
③，解得.......................4
所以，不等式的解集是..................5
（2）因为，所以................................6
不等式
所以...............................8
所以
所以...................................9
所以
所以，实数m的取值范围是.....................10
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合? ，， 则 =
A．
B．
C．
D．
2．已知是虚数单位，，则=
A．
B．
C．
D．
3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为，则输出的值为
A．3B．4C．5D．6
（第3题）
（第4题）
4．如图，是边长为8的正方形，若，且为的中点，则
A．10B．12C．16D．20
5．若实数x,y满足，则的最大值是
A．4B．8C．16D．32
6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为
A．
B．
C．
D．
7.5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是
A．B．C．D．
8．设是数列的前项和，且，，则=
A．B．C．D．
9.函数的大致图像为
10.底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面,且，则四棱锥的外接球体积最小值是
A．B．C．D．
11.已知抛物线,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3，则抛物线的准线方程为
A．B．C．D．
12.已知函数（），函数，直线分别与两函数交于两点，则的最小值为
A．B．C．D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设样本数据，，...，的方差是5，若（），则，，...，的方差是________
14.已知函数（），若，则方程在的实数根个数是_____
15.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15(如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则=_______
16.已知中，内角A，B，C所对的边分别为，，，且，．
若，则的面积为
三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分．
17.(本小题满分12分)
设数列是公差为的等差数列.
(Ⅰ)推导数列的通项公式；
(Ⅱ)设，证明数列不是等比数列.
18．(本小题满分12分)
某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图．
(Ⅰ)写出女生组频率分布直方图中的值；
(Ⅱ)在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用表示随机抽取的2人中男生的人数，求的分布列和数学期望．
19.(本小题满分12分)
在直三棱柱中，，。
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求直线与平面所成的角．
20.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆，
圆，若圆的一条切线与椭圆相交于两点.
(Ⅰ)当,若点都在坐标轴的正半轴上,求椭圆的方程；
(Ⅱ)若以为直径的圆经过坐标原点，探究之间的等量关系.
21.(本小题满分12分)
已知函数（是自然对数的底数）.
(Ⅰ)求的单调区间；
(Ⅱ)若，当对任意恒成
立时，的最大值为1，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请先将对应题号用铅笔涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点在上，点在上，判断与的位置关系并求的最小值．
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数（）.
(Ⅰ)当时，解不等式；
(Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
数学科答案（理科）
一、选择题1-56-1011-12
二、填空题13.4514.315.6516.
三、解答题
17.解：（1）因为是等差数列且公差为d，所以...........1
，，…，.........3
将上述式子相加，得
所以，数列的通项公式为.................6
（2）假设数列是等比数列，...................................7
当时，，，成等比数列
所以.......................................9
所以
所以，所以，这与矛盾
所以，数列不是等比数列........................12
18.解：(1)由频率分布直方图，得a=错误！未找到引用源。=0.05．........3
(2)在抽取的女生中，月上网次数不少于20的学生的频率为0.02×5=0.1，
学生人数为0.1×20=2．.........................4
同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20的
学生人数为0.03×5×20=3，.....................................5
故X的所有可能取值为0，1，2，
则错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，...........9
所以X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | |||
| | | | |
19.解：（1）由题意，以A为坐标原点，以AB,AC,所在直线分别为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
因为
则，，，，，......3
所以，
所以..........................................4
所以，所以........................................................5
（2）又因为，所以
所以又因为
所以，............................................8
又，所以.................10
所以，............................................11
所以直线与平面所成的角为..............................12
20.解（1）因为圆的一条切线为
所以，当，所以..................2
又点都在坐标轴的正半轴上，所以，所以切线
所以两点坐标是和，..............................4
所以椭圆的方程为........................................5
（2）设，，以为直径的圆经过坐标原
所以，所以..................6
所以
由所以
所以，...............................8
所以.................10
且
所以,................................11
所以...................................................12
21.解（1）因为............................................1
①时，恒成立，所以在上单调递增，无减区间；........2
②时，有，
且时，.时，，
所以的增区间是，减区间是......................4
（2）对任意恒成立，
所以对任意恒成立
所以对任意恒成立..............5
设，因为的最大值为1，.........6
所以
，.............................................7
令
所以有，且，，，
所以
所以在是单调递增的。...................................10
所以恒成立，所以............................11
所以实数的取值范围是.......................................12
22.解：(Ⅰ)的普通方程为：………………（２分）
将的极坐标方程变形为：，
∵，，
∴的直角坐标方程为：
即．………………（５分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：曲线与都是圆．
圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为
∵
∴圆与圆内含………………（８分）
的最小值为：………………（10分）
23.解：（1）由题知，.......................1
所以①，解得...........................2
②，解得..........................3
③，解得.......................4
所以，不等式的解集是..................5
（2）因为，所以................................6
不等式
所以...............................8
所以
所以...................................9
所以
所以，实数m的取值范围是.....................10
