如何快速算矩阵的秩

  在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

  

求矩阵秩的方法

  用向量组的秩定义  矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩

  用非零子式定义  矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶

  单纯计算矩阵的秩时，可用初等行变换把矩阵化成梯形，梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩

  

矩阵的秩的变化规律

  (1)转置后秩不变

  (2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

  (3)r(kA)=r(A),k不等于0

  (4)r(A)=0<=>A=0

  (5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

  (6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

  (7)r(A)+r(B)-n<=r(AB)

  (8)P、Q为可逆矩阵，则r(PAQ)=r(A)

  (9)n阶方阵A，若|A|=0，则r(A)<n，否则r(A)=n

  (10)若Ax=B有解，则r(A)=r(A,B)

  (11)若A~B，则人r(A)=r(B)

  (12)若所有n阶子式为零，则r(A)<t(t为A的逆序数)

  (13)A中若有S阶非零子式，则r(A)>=S