裂项相消公式系数提取

  裂项相消是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

  

裂项相消公式

  （1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

  （2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

  （3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

  （4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

  （5）n·n!=(n+1)!-n!

  （6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

  （7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

  （8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

  

裂项相消的例子

  [例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.

  解：设 an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）

  则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）

  ＝ 1-1/(n+1)

  ＝ n/(n+1)

  小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。