2020年福建省高考理科数学模拟试题及答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知全集 ，集合 ，则 （?? ）
A.??? B.? ?? C.??? D.
2.?? 已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 上，则实数 的值为（?? ）
A.??? B.? ?? C.? ?? D.
3 ． 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若?? , 则 等于（?? ）
A ．??? B ．??? C ．??? D ． 或
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4 ，则输出 p 为（ ）
A.? 6?? B.? 24?? C.? 120?? D.? 720
5.?? 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （?? ）
A.? ? B.? ? C.? ? D.
6 .?? 已知直线 和抛物线 C ： ， P 为 C 上的一点，且 P 到直线 l 的距离与 P 到 C 的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（?? ）
A. 0 个?? B. 1 个?? C. 2 个?? D.? 无数个
7 .?? 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A.? ? B.
C.? ? D.
8.? 从 2 个不同的红球， 2 个不同的黄球， 2 个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入 1 个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（?? ）
A ． 46 种? B ． 36 种? C ． 72 种? D ． 42 种
9.? 已知双曲线 （ ）的左焦点为 ，第二象限的点 在双曲线
的渐近线上，且 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A ．? B ．
C ．? D ．
10 . 已知数列 的通项公式是 ，其前 项和 ，则项数
A.? 13?? B.? 10?? C.? 9?? D.? 6
11. 已知 是定义域为 R 的偶函数 , 且在 (0,+ ∞ ) 单调递增 , 设 , ,
, 则 的大小关系为 ( )
A. ? B. ? C. ? D.
12. 已知函数 在区间 (-1,1) 内存在极值点 , 且 恰好有唯一整数解 , 则 ?? 的取值范围是 ( 其中 为自然对数的底数 , ? )
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.?? 展开式中的 的系数为 _______
14.?? 若向量 不共线，且 ，则 ______
15.?? 设等比数列 的前 项和是 ，若 ，则 __________ ．
16.?? 已知点 ，抛物线 的焦点为 ，连接 ，与抛物线 相交于点 ，延长 ，与抛物线 的准线相交于点 ，若 ，则实数 的值为 __________ ．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、 23 为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题（共 60 分）
17.?? （本题满分 12 分）
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，已知 ? ， ， .
（ 1 ）求角 ；
（ 2 ）若点 满足 ，求 的长 .
18.?? （本题满分 12 分）
如图，在三棱锥 中， 底面 ， 为 的中点
（ 1 ） 求证：
（ 2 ） 若二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积 .
19 .?? （本题满分 12 分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费 元；重量超过 的包裹，除 收费 元之外，超过 的部分，每超出 （不足 时按 计算）需再收 元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取 件，其重量统计如下：
公司又随机抽取了 天的揽件数，得到频数分布表如下：
以记录的 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（ 1 ） 计算该公司 天中恰有 天揽件数在 的概率；
（ 2 ） 估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ 3 ） 公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员 人，每人每天揽件不超过 件，每人每天工资 元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
20.?? （本题满分 12 分）
已知椭圆 C ： 的离心率为 ，左、右顶点分别为 A ， B ， 点 M 是椭圆 C 上异于 A ， B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P ．
（ 1 ）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM 的斜率的取值范围；
（ 2 ）设椭圆 C 的右焦点为 F ，点 Q 在 y 轴上，且 AQ ∥ BM ，求证： ∠ PFQ 为定值．
2 1 ． （本题满分 12 分）
已知函数 .
（ 1 ）讨论 在 上的零点个数；
（ 2 ）当 时，若存在 ，使 ，求实数 的取值范围 . （ 为自然对数的底数，其值为 2.71828 ……）
（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22 ． [ 选修 4—4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建坐标系，
已知曲线 C ： ρ sin 2 θ ＝ 2 a cos? θ ( a ＞ 0) ，已知过点 P ( － 2 ，－? 4) 的直线 l 的参数方程为 ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M ， N 两点 .
(1) 写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；
(2) 若 | PM | ， | MN | ， | PN | 成等比数列，求 a 的值 .
23 ． [ 选修 4—5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）
设不等式 的解集为 M ．
(1) 求集合 M ；
(2) 已知 ，求证： ．
参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.A? 4.B 5.C 6.C? 7.B 8.D 9.A 10.D 11.C 12.C
二、填空题
13. ?? 14. ? 15. 16.
三、解答题
17. （ 1 ）由题设及正弦定理得 ，
又 ，
所以 .
由于 ，则 .
又因为 ，
所以 .
（ 2 ）由正弦定理易知 ，解得 .
又因为 ，所以 ，即 .
在 中，因为 ， ，所以 ，
所以在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 .
18. （ 1 ）在 中，由余弦定理得 ，则 ．
因为 为 的中点，则 ．
因为 ，则
，所以 ．
因为 ，则 ．
因为 底面 ，则 ，所以 平面 ，从而 ．
（ 2 ）分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设 ，则点 ， ， ，所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ， ，所以 ．
因为 为平面 的法向量，
则 ，即 ．
所以 ，解得 ，所以 ．
所以 ．
19. 样本中包裹件数在 内的天数为 ，频率为 ，
可估计概率为 ，未来 天中，包裹件数在 间的天数 X 服从二项分布，
即 ，故所求概率为 ；
样本中快递费用及包裹件数如下表：
故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元．
（ 3 ）根据题意及 ，揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加 （元），
将题目中的天数转化为频率，得
若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为 （元）
因 故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利．
20. （ Ⅰ ）由题意可得 c 2 ＝ a 2 ﹣ 2 ， ∵ e ， ∴ a ＝ 2 ， c ， ∴ 椭圆的方程为 1 ，
设 P （ 0 ， m ），由点 P 在椭圆 C 的内部，得 m ，又 ∵ A （﹣ 2 ， 0 ），
∴ 直线 AM 的斜率 k AM ∈ （ ， ），又 M 为椭圆 C 上异于 A ， B 的一点，
∴ k AM ∈ （ ， 0 ） （ 0 ， ），
（ Ⅱ ）由题意 F （ ， 0 ）， M （ x 0 ， y 0 ），其中 x 0 ≠± 2 ，则 1 ，
直线 AM 的方程为 y （ x+2 ），令 x ＝ 0 ，得点 P 的坐标为（ 0 ， ），
∵ k BM =k AQ ， ∴ 直线 AQ 的方程为 y （ x+2 ），
令 x ＝ 0 ，得点 Q 的坐标为（ 0 ， ），由 （ ， ）， （ ， ），
∴ ? 2 0 ， ∴ ⊥ ，即 ∠ PFQ ＝ 90 °，
故 ∠ PFQ 为定值
21. （ 1 ）由 得 ，令 ，
因此讨论 在 上的零点个数，即是讨论直线 与曲线 的交点个数，
∵ ， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增， ，
又 连续不断，所以当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上存在一个零点 .
（ 2 ）当 时，由（ 1 ）得 在 上存在一个零点，
由 得 ，
由（ 1 ）可得 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，
又存在 ，使 成立，
所以，只需 成立，即 不等式成立，
令 ，
则 ，
易知 在 上恒成立，
故 在 上单调递增
又 ，所以 .
故实数 的取值范围为 .
22 (1) 由 C ： ρ sin 2 θ ＝ 2 a cos? θ ，得 ( ρ sin? θ ) 2 ＝ 2 a ρ cos? θ?? ，所以曲线的普通方程为 y 2 ＝ 2 ax . 由直线 l 的参数方程 消去参数 t ，得 x － y － 2 ＝ 0.? …… 5 分
(2) 直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ) ，
代入 y 2 ＝ 2 ax,? 得到 t 2 － 2 (4 ＋ a ) t ＋ 8(4 ＋ a ) ＝ 0 ，则有 t 1 ＋ t 2 ＝ 2 (4 ＋ a ) ， t 1 · t 2 ＝ 8(4 ＋ a ).
因为 | MN | 2 ＝ | PM | · | PN | ，所以 ( t 1 － t 2 ) 2 ＝ ( t 1 ＋ t 2 ) 2 － 4 t 1 · t 2 ＝ t 1 · t 2 .? 解得 a ＝ 1.? ……… 10 分
23. （ 1 ）原不等式等价于 或 或
解得： 或
所以原不等式的解集为
（ 2 ）由（ 1 ）知，当 时， ，
所以 ，
从而
可得
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知全集 ，集合 ，则 （?? ）
A.??? B.? ?? C.??? D.
2.?? 已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 上，则实数 的值为（?? ）
A.??? B.? ?? C.? ?? D.
3 ． 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若?? , 则 等于（?? ）
A ．??? B ．??? C ．??? D ． 或
4. 执行如图所示的程序框图，如果输入 N=4 ，则输出 p 为（ ）
A.? 6?? B.? 24?? C.? 120?? D.? 720
5.?? 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （?? ）
A.? ? B.? ? C.? ? D.
6 .?? 已知直线 和抛物线 C ： ， P 为 C 上的一点，且 P 到直线 l 的距离与 P 到 C 的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（?? ）
A. 0 个?? B. 1 个?? C. 2 个?? D.? 无数个
7 .?? 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A.? ? B.
C.? ? D.
8.? 从 2 个不同的红球， 2 个不同的黄球， 2 个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入 1 个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（?? ）
A ． 46 种? B ． 36 种? C ． 72 种? D ． 42 种
9.? 已知双曲线 （ ）的左焦点为 ，第二象限的点 在双曲线
的渐近线上，且 ，若直线 的斜率为 ，则双曲线的渐近线方程为 ( )
A ．? B ．
C ．? D ．
10 . 已知数列 的通项公式是 ，其前 项和 ，则项数
A.? 13?? B.? 10?? C.? 9?? D.? 6
11. 已知 是定义域为 R 的偶函数 , 且在 (0,+ ∞ ) 单调递增 , 设 , ,
, 则 的大小关系为 ( )
A. ? B. ? C. ? D.
12. 已知函数 在区间 (-1,1) 内存在极值点 , 且 恰好有唯一整数解 , 则 ?? 的取值范围是 ( 其中 为自然对数的底数 , ? )
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13.?? 展开式中的 的系数为 _______
14.?? 若向量 不共线，且 ，则 ______
15.?? 设等比数列 的前 项和是 ，若 ，则 __________ ．
16.?? 已知点 ，抛物线 的焦点为 ，连接 ，与抛物线 相交于点 ，延长 ，与抛物线 的准线相交于点 ，若 ，则实数 的值为 __________ ．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、 23 为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题（共 60 分）
17.?? （本题满分 12 分）
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，已知 ? ， ， .
（ 1 ）求角 ；
（ 2 ）若点 满足 ，求 的长 .
18.?? （本题满分 12 分）
如图，在三棱锥 中， 底面 ， 为 的中点
（ 1 ） 求证：
（ 2 ） 若二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积 .
19 .?? （本题满分 12 分）
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费 元；重量超过 的包裹，除 收费 元之外，超过 的部分，每超出 （不足 时按 计算）需再收 元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取 件，其重量统计如下：
公司又随机抽取了 天的揽件数，得到频数分布表如下：
以记录的 天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率
（ 1 ） 计算该公司 天中恰有 天揽件数在 的概率；
（ 2 ） 估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ 3 ） 公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员 人，每人每天揽件不超过 件，每人每天工资 元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
20.?? （本题满分 12 分）
已知椭圆 C ： 的离心率为 ，左、右顶点分别为 A ， B ， 点 M 是椭圆 C 上异于 A ， B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P ．
（ 1 ）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 AM 的斜率的取值范围；
（ 2 ）设椭圆 C 的右焦点为 F ，点 Q 在 y 轴上，且 AQ ∥ BM ，求证： ∠ PFQ 为定值．
2 1 ． （本题满分 12 分）
已知函数 .
（ 1 ）讨论 在 上的零点个数；
（ 2 ）当 时，若存在 ，使 ，求实数 的取值范围 . （ 为自然对数的底数，其值为 2.71828 ……）
（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）
22 ． [ 选修 4—4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建坐标系，
已知曲线 C ： ρ sin 2 θ ＝ 2 a cos? θ ( a ＞ 0) ，已知过点 P ( － 2 ，－? 4) 的直线 l 的参数方程为 ，直线 l 与曲线 C 分别交于 M ， N 两点 .
(1) 写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；
(2) 若 | PM | ， | MN | ， | PN | 成等比数列，求 a 的值 .
23 ． [ 选修 4—5 ：不等式选讲 ] （ 10 分）
设不等式 的解集为 M ．
(1) 求集合 M ；
(2) 已知 ，求证： ．
参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.A? 4.B 5.C 6.C? 7.B 8.D 9.A 10.D 11.C 12.C
二、填空题
13. ?? 14. ? 15. 16.
三、解答题
17. （ 1 ）由题设及正弦定理得 ，
又 ，
所以 .
由于 ，则 .
又因为 ，
所以 .
（ 2 ）由正弦定理易知 ，解得 .
又因为 ，所以 ，即 .
在 中，因为 ， ，所以 ，
所以在 中， ， ，
由余弦定理得 ，
所以 .
18. （ 1 ）在 中，由余弦定理得 ，则 ．
因为 为 的中点，则 ．
因为 ，则
，所以 ．
因为 ，则 ．
因为 底面 ，则 ，所以 平面 ，从而 ．
（ 2 ）分别以直线 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设 ，则点 ， ， ，所以 ， ．
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 ， ，所以 ．
因为 为平面 的法向量，
则 ，即 ．
所以 ，解得 ，所以 ．
所以 ．
19. 样本中包裹件数在 内的天数为 ，频率为 ，
可估计概率为 ，未来 天中，包裹件数在 间的天数 X 服从二项分布，
即 ，故所求概率为 ；
样本中快递费用及包裹件数如下表：
故样本中每件快递收取的费用的平均值为 （元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元．
（ 3 ）根据题意及 ，揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加 （元），
将题目中的天数转化为频率，得
若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为 （元）
因 故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利．
20. （ Ⅰ ）由题意可得 c 2 ＝ a 2 ﹣ 2 ， ∵ e ， ∴ a ＝ 2 ， c ， ∴ 椭圆的方程为 1 ，
设 P （ 0 ， m ），由点 P 在椭圆 C 的内部，得 m ，又 ∵ A （﹣ 2 ， 0 ），
∴ 直线 AM 的斜率 k AM ∈ （ ， ），又 M 为椭圆 C 上异于 A ， B 的一点，
∴ k AM ∈ （ ， 0 ） （ 0 ， ），
（ Ⅱ ）由题意 F （ ， 0 ）， M （ x 0 ， y 0 ），其中 x 0 ≠± 2 ，则 1 ，
直线 AM 的方程为 y （ x+2 ），令 x ＝ 0 ，得点 P 的坐标为（ 0 ， ），
∵ k BM =k AQ ， ∴ 直线 AQ 的方程为 y （ x+2 ），
令 x ＝ 0 ，得点 Q 的坐标为（ 0 ， ），由 （ ， ）， （ ， ），
∴ ? 2 0 ， ∴ ⊥ ，即 ∠ PFQ ＝ 90 °，
故 ∠ PFQ 为定值
21. （ 1 ）由 得 ，令 ，
因此讨论 在 上的零点个数，即是讨论直线 与曲线 的交点个数，
∵ ， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增， ，
又 连续不断，所以当 时， 在 上无零点；
当 时， 在 上存在一个零点 .
（ 2 ）当 时，由（ 1 ）得 在 上存在一个零点，
由 得 ，
由（ 1 ）可得 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，
又存在 ，使 成立，
所以，只需 成立，即 不等式成立，
令 ，
则 ，
易知 在 上恒成立，
故 在 上单调递增
又 ，所以 .
故实数 的取值范围为 .
22 (1) 由 C ： ρ sin 2 θ ＝ 2 a cos? θ ，得 ( ρ sin? θ ) 2 ＝ 2 a ρ cos? θ?? ，所以曲线的普通方程为 y 2 ＝ 2 ax . 由直线 l 的参数方程 消去参数 t ，得 x － y － 2 ＝ 0.? …… 5 分
(2) 直线 l 的参数方程为 ( t 为参数 ) ，
代入 y 2 ＝ 2 ax,? 得到 t 2 － 2 (4 ＋ a ) t ＋ 8(4 ＋ a ) ＝ 0 ，则有 t 1 ＋ t 2 ＝ 2 (4 ＋ a ) ， t 1 · t 2 ＝ 8(4 ＋ a ).
因为 | MN | 2 ＝ | PM | · | PN | ，所以 ( t 1 － t 2 ) 2 ＝ ( t 1 ＋ t 2 ) 2 － 4 t 1 · t 2 ＝ t 1 · t 2 .? 解得 a ＝ 1.? ……… 10 分
23. （ 1 ）原不等式等价于 或 或
解得： 或
所以原不等式的解集为
（ 2 ）由（ 1 ）知，当 时， ，
所以 ，
从而
可得