高中向量公式大全图片

  平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。以下是整理出来的平面向量的公式

   1、向量的加法     向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

  AB+BC=AC。

  a+b=(x+x'，y+y')。

  a+0=0+a=a。

  向量加法的运算律：

  交换律：a+b=b+a；

  结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

  2、向量的减法   如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

  AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”

  a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

  3、数乘向量   实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

  当λ＞0时，λa与a同方向；

  当λ＜0时，λa与a反方向；

  当λ=0时，λa=0，方向任意。

  当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

  注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

  实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

  当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；

  当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。

  数与向量的乘法满足下面的运算律

  结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

  向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

  数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

  数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

  4、向量的的数量积  定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

  定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣.

  向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'.

  向量的数量积的运算律

  a?b=b?a（交换律）；

  (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；

  （a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

  向量的数量积的性质

  a?a=|a|的平方.

  a⊥b 〈=〉a?b=0.

  |a?b|≤|a|?|b|.

  向量的数量积与实数运算的主要不同点

  1、向量的数量积不满足结合律,即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.

  2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c.

  3、|a?b|≠|a|?|b|

  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

  5、向量的向量积  定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.

  向量的向量积性质：

  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

  a×a=0.

  a‖b〈=〉a×b=0.

  向量的向量积运算律

  a×b=-b×a；

  （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

  （a+b）×c=a×c+b×c.

  注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.

  6、向量的三角形不等式  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

  ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；

  ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.

  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

  ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；

  ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.

  7、定比分点  定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）

  设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.

  若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有

  OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

  x=(x1+λx2)/(1+λ),

  y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）

  我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

  8、三点共线定理   若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

  三角形重心判断式

  在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心

  [编辑本段]向量共线的重要条件

  若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

  a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

  零向量0平行于任何向量。

  [编辑本段]向量垂直的充要条件

  a⊥b的充要条件是a?b=0。

  a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。

  零向量0垂直于任何向量.